Question

如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知平面AA₁C₁C丄平面ABCD，且AB=BC＝CA=_,AD=CD=1.

求证：BD⊥AA₁；
若四边形是菱形，且，求四棱柱的体积.

Answer 1

详见解析；

试题分析：在底面ABCD中，由各边的关系可知再由面面垂直的性质定理可得平面，从而证得BD⊥AA₁；由于四棱柱底面各边及对角线CA长度都已知，故其面积容易求得.而易知四棱柱的高即菱形中AC边上的高，由及可得高，所以可得四棱柱体积V=.
试题解析：（Ⅰ）在四边形中，因为，，所以    2分
又平面平面，且平面平面
平面，所以平面                     4分
又因为平面，所以．                      6分
（Ⅱ）过点作于点，∵平面平面 

∴平面
即为四棱柱的一条高         8分
又∵四边形是菱形,且，
∴ 四棱柱的高为              9分
又∵ 四棱柱的底面面积  10分
∴ 四棱柱的体积为           12分