Question

【题目】已知椭圆： 的离心率为，以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为、，当动点在定直线上运动时，直线分别交椭圆于两点、，求四边形面积的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ） 离心率为，以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为，结合,列方程组求得 的值，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）点，直线的方程代入椭圆方程，得，利用韦达定理解出点坐标，同理可求得 点的坐标，利用三角形面积公式将四边形面积表示为 的函数，利用换元法结合函数单调性求解即可.

试题解析：（Ⅰ）由题设知， ，

又，解得，

故椭圆的方程为.

（Ⅱ）由于对称性，可令点，其中.

将直线的方程代入椭圆方程，得，

由， 得，则.

再将直线的方程代入椭圆方程，得，

由， 得，则.

故四边形的面积为 .

由于，且在上单调递增，故，

从而，有.

当且仅当，即，也就是点的坐标为时，四边形的面积取最大值6.

注:本题也可先证明”动直线恒过椭圆的右焦点”,再将直线的方程 (这里)代入椭圆方程,整理得,然后给出面积表达式 ,令,

则,当且仅当即时, .