题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若是函数
的两个不同的零点,求证:
.
【答案】(1)当时,函数
在
上单调递增;当
时,函数
在
上单调递增,在
上单调递减.(2)证明见解析
【解析】
(1)求出,对参数
分
和
讨论,即可到答案;
(2)根据零点方程,
变形消去参数
,可得
,然后整理可得
,设
,
,
,则
,
,问题转化为要证
,即证
,
,.即证当
时,有
,构造函数
,
,只需证明
即可.
(1)函数的定义域为
,
,
当时,
,所以函数
在
上单调递增;
当时,令
,得
;令
,得
,
所以函数在
上单调递增,在
上单调递减,
综上所述:当时,函数
在
上单调递增;
当时,函数
在
上单调递增,在
上单调递减.
(2)因为是方程
的两个不同实根,不妨设
.
于是,有,解得
.
另一方面,由,得
,
从而可得,
于是,.
又,设
,则
.因此,
,
.
要证,即证:
,
.即证当
时,有
.
设函数,
,则
,
所以,为
上的增函数.注意到,
,因此,
.
于是,当时,有
.所以,有
成立.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:
支付方式 | 不大于2000元 | 大于2000元 |
仅使用A | 27人 | 3人 |
仅使用B | 24人 | 1人 |
(Ⅰ)估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数;
(Ⅱ)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,求该学生上个月支付金额大于2000元的概率;
(Ⅲ)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,发现他本月的支付金额大于2000元.结合(Ⅱ)的结果,能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由.