题目内容

设二次函数f(x)=x2+ax+a,方程f(x)-x=0的两根x1和x2满足0<x1<x2<1.
(1)求实数a的取值范围;
(2)试比较f(0)·f(1)-f(0)与的大小,并说明理由
法一:(1)令g(x)=f(x)-x=x2+(a-1)x+a,
则由题意可得
?
⇒0<a<3-2.
故所求实数a的取值范围是(0,3-2).
(2)f(0)·f(1)-f(0)=g(0)g(1)=2a2,令h(a)=2a2
∵当a>0时,h(a)单调递增,∴当0<a<3-2时,
0<h(a)<h(3-2)=2(3-2)2=2(17-12)
=2·<,即f(0)·f(1)-f(0)<.
法二:(1)同解法一.
(2)∵f(0)f(1)-f(0)=g(0)g(1)=2a2,由(1)知
0<a<3-2,
∴4a-1<12-17<0.又4a+1>0,于是
2a2-=(32a2-1)=(4a-1)(4a+1)<0,
即2a2-<0,故f(0)f(1)-f(0)<.
法三:(1)方程f(x)-x=0?x2+(a-1)x+a=0,由韦达定理得x1+x2=1-a,x1x2=a,于是0<x1<x2<1
??
?0<a<3-2.
故所求实数a的取值范围是(0,3-2).
(2)依题意可设g(x)=(x-x1)(x-x2),则由0<x1<x2<1,得f(0)f(1)-f(0)=g(0)g(1)=x1x2(1-x1)(1-x2)=[x1(1-x1)][x2(1-x2)]<22=,故f(0)f(1)-f(0)<.
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