Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，右焦点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于点、，直线、分别与轴交于点、.

（1）若，求点的横坐标；

（2）设直线、的斜率分别为、，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由题意可得出、的值，进一步求出的值，可求出椭圆的方程，由可得出，由点、的横坐标结合向量坐标运算可求得点的横坐标；

（2）设点，可得点，求出直线、的方程，可求得点、的坐标，利用斜率公式可求得的值.

（1）设椭圆的焦距为，

由题意得，，因为，，所以，

所以椭圆的标准方程为.

因为，所以，所以.

又因为，，所以，即点的横坐标为；

（2）因为直线过原点，由对称性可设、，

所以直线，令，得，所以；

直线，令，得，所以.

所以，，所以.

又因为，所以.