题目内容
【题目】已知中心在原点O,左焦点为F1(-1,0)的椭圆C的左顶点为A,上顶点为B,F1到直线AB的距离为|OB|.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,若椭圆,椭圆
,则称椭圆C2是椭圆C1的λ倍相似椭圆.已知C2是椭圆C的3倍相似椭圆,若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C2于两点M、N,试求弦长|MN|的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:(1)设出椭圆的标准方程,写出直线方程,利用点到直线的距离公式和几何元素间的关系进行求解;(2)先写出相似椭圆的方程,设出直线方程,联立直线和椭圆的方程,得到关于的一元二次方程,利用根与系数的关系、距离公式进行求解.
试题解析:(1)设椭圆C的方程为,
∴直线AB的方程为+
=1.
∴F1(-1,0)到直线AB距离d==
b,
整理得a2+b2=7(a-1)2,
又b2=a2-1,解得a=2,b=,
∴椭圆C的方程为+
=1.
(2)椭圆C的3倍相似椭圆C2的方程为+
=1,
①若切线l垂直于x轴,则其方程为x=±2,易求得|MN|=2;
②若切线l不垂直于x轴,可设其方程为y=kx+p,
将y=kx+p代入椭圆C的方程,
得(3+4k2)x2+8kpx+4p2-12=0,
∴Δ=(8kp)2-4(3+4k2)(4p2-12)=48(4k2+3-p2)=0,
即p2=4k2+3.(*)
记M、N两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),
将y=kx+p代入椭圆C2的方程,
得(3+4k2)x2+8kpx+4p2-36=0,
此时x1+x2=-,x1x2=
,
∴|x1-x2|=,
∴|MN|=·
=4=2
,
∵3+4k2≥3,∴1<1+≤
,
即2<2
≤4
,
结合①②,得弦长|MN|的取值范围为[2,4
].
![](http://thumb.zyjl.cn/images/loading.gif)
【题目】2017年5月14日,第一届“一带一路”国际高峰论坛在北京举行,为了解不同年龄的人对“一带一路”关注程度,某机构随机抽取了年龄在岁之间的100人进行调查,并按年龄绘制成频率分布直方图,如图所示,其分组区间为:
,
,
,
,
,
.把年龄落在区间
和
内的人分别称为“青少年”和“中老年”.
(1)根据频率分布直方图求样本的中位数(保留两位小数)和众数
(2)根据已知条件完成下面的2×2列联表,并判断能否有99%的把握认为关注“带一路”是否和年龄段有关?
关注 | 不关注 | 合计 | |
青少年 | 15 | ||
中老年 | |||
合计 | 50 | 50 | 100 |
附:参考公式,其中
临界值表:
0.05 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |