题目内容

【题目】已知椭圆C: =1(a>0,b>0)经过点(﹣ ).且离心率为
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过椭圆C的左焦点F作两条互相垂直的动弦AB与CD,记由A,B,C,D四点构成的四边形的面积为S,求S的最大值和最小值.

【答案】
(1)解:①当a>b时,∵椭圆C: =1(a>0,b>0)经过点(﹣ ).且离心率为

∴由题意 + =1,且e= =

解得a2=2,b2=1,

∴椭圆方程为 =1;

②当a<b时,∵椭圆C: =1(a>0,b>0)经过点(﹣ ).且离心率为

∴由题意 + =1,且e= =

解得 ,b2=

∴椭圆方程为 =1.

∴椭圆C的方程为 =1或 =1.


(2)解:∵过椭圆C的左焦点F作两条互相垂直的动弦AB与CD,∴取椭圆C的方程为 =1,

①当两条弦中有一条的斜率不存在时,则另一条的斜率为0,

∴由A,B,C,D四点构成的四边形的面积:

S= |AB||AC|= =2.

②当两弦的斜率均存在时,可知均不为0,设A(x1,y),B(x2,y2),

令直线AB的方程为:y=k(x+1),则直线CD的方程为:y=﹣ (x+1),

,得(1+2k2)x2+4k2x+2k2﹣2=0,

∴|AB|= =

同理,|CD|= = =

= =2﹣

∵2(k+ 2+1≥2(2 2+1≥2(2 2+1=9,

当且仅当k=±1时取等号,

综上,

∴S的最大值为2,最小值为


【解析】(1)根据a>b和a<b两种情况,由椭圆C: =1(a>0,b>0)经过点(﹣ ).且离心率为 ,列出方程组求出a,b,由此能求出椭圆C的方程.(2)取椭圆C的方程为 =1,当两条弦中有一条的斜率不存在时,则另一条的斜率为0,此时由A,B,C,D四点构成的四边形的面积S= |AB||AC|=2;当两弦的斜率均存在时,令直线AB的方程为:y=k(x+1),则直线CD的方程为:y=﹣ (x+1),利用韦达定理、弦长公式,能求出S的最大值和最小值.

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