题目内容
【题目】已知椭圆C: =1(a>0,b>0)经过点(﹣ , ).且离心率为 .
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过椭圆C的左焦点F作两条互相垂直的动弦AB与CD,记由A,B,C,D四点构成的四边形的面积为S,求S的最大值和最小值.
【答案】
(1)解:①当a>b时,∵椭圆C: =1(a>0,b>0)经过点(﹣ , ).且离心率为 .
∴由题意 + =1,且e= = ,
解得a2=2,b2=1,
∴椭圆方程为 =1;
②当a<b时,∵椭圆C: =1(a>0,b>0)经过点(﹣ , ).且离心率为 .
∴由题意 + =1,且e= = ,
解得 ,b2= ,
∴椭圆方程为 =1.
∴椭圆C的方程为 =1或 =1.
(2)解:∵过椭圆C的左焦点F作两条互相垂直的动弦AB与CD,∴取椭圆C的方程为 =1,
①当两条弦中有一条的斜率不存在时,则另一条的斜率为0,
∴由A,B,C,D四点构成的四边形的面积:
S= |AB||AC|= =2.
②当两弦的斜率均存在时,可知均不为0,设A(x1,y),B(x2,y2),
令直线AB的方程为:y=k(x+1),则直线CD的方程为:y=﹣ (x+1),
由 ,得(1+2k2)x2+4k2x+2k2﹣2=0,
∴|AB|= = ,
同理,|CD|= = =
= =2﹣ ,
∵2(k+ )2+1≥2(2 )2+1≥2(2 )2+1=9,
当且仅当k=±1时取等号,
∴ .
综上, .
∴S的最大值为2,最小值为
【解析】(1)根据a>b和a<b两种情况,由椭圆C: =1(a>0,b>0)经过点(﹣ , ).且离心率为 ,列出方程组求出a,b,由此能求出椭圆C的方程.(2)取椭圆C的方程为 =1,当两条弦中有一条的斜率不存在时,则另一条的斜率为0,此时由A,B,C,D四点构成的四边形的面积S= |AB||AC|=2;当两弦的斜率均存在时,令直线AB的方程为:y=k(x+1),则直线CD的方程为:y=﹣ (x+1),利用韦达定理、弦长公式,能求出S的最大值和最小值.