题目内容
【题目】如图，在直角坐标系
中，圆
与
轴负半轴交于点
，过点
的直线
,
分别与圆
交于
,
两点．
（Ⅰ）若
,
，求
的面积；
（Ⅱ）若直线
过点
，证明：
为定值，并求此定值．
【答案】（I）
；（II）证明见解析，
．
【解析】
试题分析：（I）由题意，得出直线
的方程为
，直线
的方程为
，由中位线定理，得
，由此可求解
的面积；（II）当直线
斜率存在时，设直线的方程为
，代入圆的方程，利用根与系数的关系、韦达定理，即可化简得出
为定值；当斜率不存在时，直线的方程为
，代入圆的方程可得：
，
，即可得到为定值．
试题解析：（Ⅰ）由题知
，所以
，
为圆
的直径，
的方程为，直线的方程为，
所以圆心到直线
的距离
，
所以
，由中位线定理知，，
；
（Ⅱ）设
、
，
①当直线斜率存在时，设直线的方程为，代入圆的方程中有：
，整理得：
，
则有
，
，
；
②当直线斜率不存在时，直线的方程为，
代入圆的方程可得：，，
；
综合①②可得：
为定值，此定值为．
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