题目内容

【题目】已知函数(其中为常数且)在处取得极值.

(Ⅰ)当时,求的单调区间;

(Ⅱ)若上的最大值为1,求的值.

【答案】(Ⅰ)单调递增区间为;单调递减区间为; (Ⅱ).

【解析】试题分析:(Ⅰ)由函数的解析式,可求出函数导函数的解析式,进而根据的一个极值点,可构造关于的方程,根据求出值;可得函数导函数的解析式,分析导函数值大于0和小于0时,的范围,可得函数的单调区间;
(Ⅱ)对函数求导,写出函数的导函数等于0的的值,列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况,做出极值,把极值同端点处的值进行比较得到最大值,最后利用条件建立关于的方程求得结果.

试题解析:

(Ⅰ)因为,所以

因为函数处取得极值,

时,

,得;由,得

即函数的单调递增区间为;单调递减区间为

(Ⅱ)因为

因为处取得极值,所以

时,上单调递增,在上单调递减,

所以在区间上的最大值为

,解得

时,上单调递增,上单调递减,上单调递增,

所以最大值1可能的在处取得,而

所以,解得

时,在区间上单调递增,上单调递减,上单调递增,

所以最大值1可能在处取得,

所以

解得,与矛盾.

时,在区间上单调递增,在上单调递减,

所最大值1可能在处取得,而,矛盾.

综上所述,

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