题目内容
【题目】如图,以为顶点的六面体中,
和
均为等边三角形,且平面
平面
,
平面
,
,
.
(1)求证: 平面
;
(2)求此六面体的体积.
【答案】(1)证明见解析;(2) 2.
【解析】试题分析:(Ⅰ)作 ,交
于
,连结
,根据条件证明四边形
是平行四边形;(Ⅱ)将此六面体分成两个三棱锥的体积和
,根据(Ⅰ)的结果可知点
到平面
的距离是
,点
到平面
的距离是
,这样求体积和.
试题解析:(Ⅰ)作,交
于
,连结
.
因为平面平面
,
所以平面
,
又因为平面
,
从而.
因为是边长为2的等边三角形,
所以,
因此,
于是四边形为平行四边形,
所以,
因此平面
.
(Ⅱ) 因为是等边三角形,
所以是
中点,
而是等边三角形,
因此,
由平面
,知
,
从而平面
,
又因为,
所以平面
,
因此四面体的体积为
,
四面体的体积为
,
而六面体的体积=四面体
的体积+四面体
的体积
故所求六面体的体积为2
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