Question

【题目】已知，若在区间上有且只有一个极值点，则的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】对函数求导可得，设, ，当时， 在上恒成立，即函数在上为增函数，而， ，则函数在区间上有且只有一个零点，使，且在上， ，在上， ，故为函数在区间上唯一的极小值点；当时，因为，所以成立，则函数在区间上为增函数，又此时，所以在区间上恒成立，即，故函数在区间上为单调递增函数，所以在区间上无极值；当时， ，因为，所以总有成立，即成立，故函数在区间上为单调递增函数，所以在区间上无极值，综上所述，得.

点晴:本题考查了函数与极值的综合应用.考查函数需先求一阶导数成立的，再判断零点两侧的导数值是否异号，如果零点左侧导数为正，右侧导数为负，那么是极大值点，如果零点左侧导数为负，右侧导数为正，那么是极小值点，或是求导数后将问题转化为定义域内存在的问题，而本题求一阶导数后函数非常复杂，需将导函数中影响正负的那部分函数拿出来，重新设一个新的函数，再求二阶导函数，求导后可判断函数的单调性和最值，从而判断是否存在零点.