Question

13．已知函数f（x）=x³+2bx²+cx-2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x-10．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若y=f（x）-a至多有两个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=3x²+4bx+c；y=5x-10与x轴的交点为（2，0），可得f′（2）=5，f（2）=0，解出即可．
（2）y=f（x）-a至多有两个零点，即y=f（x）与y=a至多有两个交点．f′（x）=3x²-4x+1=0，解得x₁=1，${x}_{2}=\frac{1}{3}$．列表可得单调性与极值，即可得出．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+4bx+c；
y=5x-10与x轴的交点为（2，0），
则f′（2）=12+8b+c=5，f（2）=8+8b+2c-2=0，
解得b=-1，c=1，
  故函数f（x）=x³-2x²+x-2．
（2）y=f（x）-a至多有两个零点，即y=f（x）与y=a至多有两个交点．
f′（x）=3x²-4x+1=0，解得x₁=1，${x}_{2}=\frac{1}{3}$．

x	$（-∞，\frac{1}{3}）$	$\frac{1}{3}$	$（\frac{1}{3}，1）$	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值-$\frac{50}{27}$	减	极小值-2	增

故$a≥-\frac{50}{27}$或a≤-2．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程的解转化为函数的交点个数，考查了数形结合思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．