Question

3．如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAD⊥底面 ABCD，E在棱PD上，且AE⊥PD．
（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面PCD；
（Ⅱ）已知AE与底面ABCD所成角为60°，求二面角C-BE-D的正切值．

Answer 1

分析 （I）平面PAD⊥底面ABCD，CD⊥AD，可得CD⊥平面PAD，CD⊥AE，又AE⊥PD，可得AE⊥平面PCD，即可证明；
（II）在平面PAD中，过点A作AD的垂线，作为z轴，以AB为x轴，AD为y轴．建立空间直角坐标系A-xyz，由平面PAD⊥底面ABCD，可得∠EAD即为AE与底面ABCD所成角为60°，$E（0，\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．设平面BED的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$．同理利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}\right.$，可得平面BCE的法向量$\overrightarrow{m}$，由$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$，即可得出二面角C-B E-D的正切值．

解答 （I）证明：∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AE，
又AE⊥PD，
∴AE⊥平面PCD．
∵AE?平面ABE，
∴平面ABE⊥平面PCD；
（II）解：在平面PAD中，过点A作AD的垂线，作为z轴，以AB为x轴，AD为y轴．建立空间直角坐标系A-xyz，
则B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）．
∵平面PAD⊥底面ABCD，
∴∠EAD即为AE与底面ABCD所成角为60°，∴$E（0，\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．
$\overrightarrow{BD}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{BE}$=$（-2，\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
设平面BED的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{-2x+2y=0}\\{-2x+\frac{1}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=$（1，1，\sqrt{3}）$．
同理利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}\right.$，可得平面BCE的法向量$\overrightarrow{m}$=$（\sqrt{3}，0，4）$，
由$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{19}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{19}}$，
∴二面角C-B E-D的正切值为$\frac{2\sqrt{15}}{15}$．

点评 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、利用法向量求空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．