题目内容
【题目】已知定义在R上的函数f(x)满足:
(1)函数y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称;
(2)对x∈R,f( ﹣x)=f( +x)成立
(3)当x∈(﹣ ,﹣ ]时,f(x)=log2(﹣3x+1),则f(2011)=( )
A.﹣5
B.﹣4
C.﹣3
D.﹣2
【答案】D
【解析】解:∵函数y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称,
∴函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,即函数f(x)是奇函数,
由f( ﹣x)=f( +x)得f( ﹣x)=f( +x)=﹣f(x﹣ ),
则f( +x)=﹣f(x),即f(x+3)=﹣f( )=f(x),
则函数f(x)是周期为3的周期函数,
则f(2011)=f(671×3+1)=f(1)=﹣f(﹣1),
∵当x∈(﹣ ,﹣ ]时,f(x)=log2(﹣3x+1),
∴f(﹣1)=log2(3+1)=log24=2,
则f(2011)=f(1)=﹣f(﹣1)=﹣2,
故选:D
【考点精析】本题主要考查了函数的值的相关知识点,需要掌握函数值的求法:①配方法(二次或四次);②“判别式法”;③反函数法;④换元法;⑤不等式法;⑥函数的单调性法才能正确解答此题.
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