题目内容
【题目】梯形
中，
，矩形
所在平面与平面垂直，且
，
.
（1）求证：平面
平面；
（2）若P为线段
上一点，且异面直线
与
所成角为45°，求平面
与平面
所成锐角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）由题意证出
，先利用面面垂直的性质定理，证出
平面
，再利用面面垂直的判定定理即可证出.
（2）以
为坐标原点，以
为
轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积求出点
坐标，再求出平面
的法向量，平面
的法向量，根据向量的数量积即可求解.
（1）证明：作
中点M，
由题则有：
，且
，又
∴四边形
为菱形，
，
又
且
，
，
又平面
平面，且交于
，
平面
，
平面，
∴平面
平面
（2）如图建系，则有
，
，
设
，
，
，
，
，
，即
设平面的法向量为
，
，
，
令
，则
，
，
设平面的法向量为
，
，
，
令
，则
，
，
，
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