题目内容

已知A、B为抛物线C:y2 = 4x上的两个动点,点A在第一象限,点B在第四象限l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切,P为l1、l2的交点.
(1)若直线AB过抛物线C的焦点F,求证:动点P在一条定直线上,并求此直线方程;
(2)设C、D为直线l1、l2与直线x = 4的交点,求面积的最小值.
(1);(2)

试题分析:(1)设),方程为,与抛物线方程联立,利用直线与抛物线y2 = 4x相切,故,求,故切线的方程。同理可求得切线方程为,联立得交点,再注意到已知条件直线AB过抛物线C的焦点F,故表示直线AB的方程为,将抛物线焦点代入,得,从而发现点P横坐标为,故点P在定直线上;(2)列面积关于某个变量的函数关系式,再求函数最小值即可,由已知得,,故,又高为,故三角形的面积为,再求最小值即可.
(1)设).
易知斜率存在,设为,则方程为.
得,        ①
由直线与抛物线相切,知.
于是,方程为.
同理,方程为.
联立方程可得点坐标为 ,
∵ 方程为
过抛物线的焦点.
,∴,点P在定直线上.
(2)由(1)知,的坐标分别为
.
∴ .   
),
知,,当且仅当时等号成立.
∴ .
,则.
∴ 时,时,.在区间上为减函数;
在区间上为增函数.∴ 时,取最小值.
∴ 当
时,面积取最小值.         13分
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