下表提供了某厂生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y的几组对照数据．x3456y2.5344.5(1)请根据上表提供的数据.用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$\widehaty$=$\hat b$x+$\hat a$,(2)请求出相关指数R2.并说明残差变量对预报变量的影响约占百分之几．(参考数值:3×2.5+4� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

3．下表提供了某厂生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据．

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$\widehaty$=$\hat b$x+$\hat a$；
（2）请求出相关指数R²，并说明残差变量对预报变量的影响约占百分之几．
（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）

分析（1）首先做出x，y的平均数，利用最小二乘法做出线性回归直线的方程的系数，写出回归直线的方程，得到结果；
（2）直接根据相关指数公式求出相关指数R²，进而可得残差变量对预报变量的影响约占百分之几．

解答解：（1）由已知可得：
$\sum_{i=1}^4{{X_i}{Y_i}}=66.5$，$\sum_{i=1}^4{X_i^2}={3^2}+{4^2}+{5^2}+{6^2}=86$，
$\overline x=4.5$，$\overline y=3.5$，
$\hat b=\frac{66.5-4×4.5×3.5}{{86-4×{{4.5}^2}}}=\frac{66.5-63}{86-81}=0.7$，
$\hat a=\overline y-\hat b\overline x=3.5-0.7×4.5=0.35$
所求的回归方程为 $\widehaty=0.7x+0.35$…（7分）
（2）计算得残差及偏差的数据如下表：

${y_i}-\widehat{y_i}$	0.05	-0.15	0.15	-0.05
${y_i}-\overline y$	-1	-0.5	0.5	1

从而得$\sum_{i=1}^n{{{（{y_i}-{{\hat y}_i}）}^2}}=0.05$，$\sum_{i=1}^n{{{（{y_i}-\overline y）}^2}}=2.5$
所以${R^2}=1-\frac{{\sum_{i=1}^n{{{（{y_i}-{{\hat y}_i}）}^2}}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{y_i}-\bar y）}^2}}}}=1-\frac{0.05}{2.5}=0.98$．…12分
所以残差变量对预报变量的贡献率约为2%．…（14分）

点评本题考查回归直线方程，相关指数，考查回归分析的初步应用．确定回归直线方程是关键．

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