题目内容
【题目】已知
，
．
⑴求
的解析式；
⑵求
时，的值域；
⑶设
，若
对任意的
，总有
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
（2）
（3）
【解析】
试题(1)由题已知
，求
，可利用换元法，即：
，
，将条件中的
，换为
得：
，求出
（2）由（1）得，可继续换元，
得：
，需对
进行分类讨论，而化为熟悉的二次函数的
值域问题解决.
（3）由
恒成立，可转化为
在
满足
，则需对的单调性进行分析，由
，采用换元法
，得：
，由
，借助函数的单调性，对进行分类讨论，分别得出的取值范围，取各种情况的并集，得出结果.
试题解析：⑴设，则，所以，
所以；
⑵设，则
当
时，
，
的值域为
当
时，
若，
，的值域为
若
，
，在
上单调递增，在
上单调递减，
的值域为
综上，当
时的值域为，当时的值域为；
⑶因为对任意
总有
所以在满足
设，则，
当
即
时
在区间
单调递增
所以
，即
，所以
(舍)
当
时，
，不符合题意
当
时， 若
即
时，在区间单调递增
所以，则
若
即
时在
递增，在
递减
所以
，得
若
即
时在区间单调递减
所以
，即
，得
综上所述：.
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