Question

12．函数y=$\frac{sinx}{|sinx|}$+$\frac{cosx}{|cosx|}$+$\frac{tanx}{|tanx|}$+$\frac{cotx}{|cotx|}$+$\frac{cosx}{|secx|}$+$\frac{sinx}{|cscx|}$的值域是（-3，-1]∪{5}．

Answer 1

分析 由题意可知，角x的终边不在坐标轴上，然后分角的终边在四个不同象限化简，求出每一种情况的值域，取并集得答案．

解答 解：由题意可知，角x的终边不在坐标轴上，则
当x为第一象限角时，y=$\frac{sinx}{|sinx|}$+$\frac{cosx}{|cosx|}$+$\frac{tanx}{|tanx|}$+$\frac{cotx}{|cotx|}$+$\frac{cosx}{|secx|}$+$\frac{sinx}{|cscx|}$
=$\frac{sinx}{sinx}$+$\frac{cosx}{cosx}$+$\frac{tanx}{tanx}$+$\frac{cotx}{cotx}$+$\frac{cosx}{secx}$+$\frac{sinx}{cscx}$=4+cos²x+sin²x=5；
当x为第二象限角时，y=$\frac{sinx}{|sinx|}$+$\frac{cosx}{|cosx|}$+$\frac{tanx}{|tanx|}$+$\frac{cotx}{|cotx|}$+$\frac{cosx}{|secx|}$+$\frac{sinx}{|cscx|}$
=$\frac{sinx}{sinx}$-$\frac{cosx}{cosx}$-$\frac{tanx}{tanx}$-$\frac{cotx}{cotx}$-$\frac{cosx}{secx}$+$\frac{sinx}{cscx}$=-2-cos²x+sin²x=-3+2sin²x∈（-3，-1）；
当x为第三象限角时，y=$\frac{sinx}{|sinx|}$+$\frac{cosx}{|cosx|}$+$\frac{tanx}{|tanx|}$+$\frac{cotx}{|cotx|}$+$\frac{cosx}{|secx|}$+$\frac{sinx}{|cscx|}$
=-$\frac{sinx}{sinx}$-$\frac{cosx}{cosx}$+$\frac{tanx}{tanx}$+$\frac{cotx}{cotx}$+$\frac{cosx}{secx}$+$\frac{sinx}{cscx}$=-cos²x-sin²x=-1；
当x为第四象限角时，y=$\frac{sinx}{|sinx|}$+$\frac{cosx}{|cosx|}$+$\frac{tanx}{|tanx|}$+$\frac{cotx}{|cotx|}$+$\frac{cosx}{|secx|}$+$\frac{sinx}{|cscx|}$
=-$\frac{sinx}{sinx}$+$\frac{cosx}{cosx}$-$\frac{tanx}{tanx}$-$\frac{cotx}{cotx}$+$\frac{cosx}{secx}$-$\frac{sinx}{cscx}$=-2+cos²x-sin²x=-1-2sin²x∈（-3，-1）．
综上，函数y=$\frac{sinx}{|sinx|}$+$\frac{cosx}{|cosx|}$+$\frac{tanx}{|tanx|}$+$\frac{cotx}{|cotx|}$+$\frac{cosx}{|secx|}$+$\frac{sinx}{|cscx|}$的值域是（-3，-1]∪{5}．
故答案为：（-3，-1]∪{5}．

点评 本题考查三角函数的化简与求值，考查了三角函数的象限符号，是基础的计算题．