Question

17．已知直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则ab的最大值是$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和圆的半径，由直线被圆截得的弦长为4刚好为圆的直径，得到直线过圆心，所以把圆心坐标代入直线方程得到a+b的值，根据a+b的值，利用基本不等式即可求出ab的最大值．

解答 解：把圆的方程化为标准方程得：（x+1）²+（y-2）²=4，
所以圆心坐标为（-1，2），半径r=2，
由直线被圆截取的弦长为4，圆的直径也为4，得到直线过圆心，
把圆心坐标代入直线方程得：-2a-2a+2=0，即a+b=1，
又a+b≥2$\sqrt{ab}$（a＞0，b＞0），当且仅当a=b时取等号，
所以ab≤$（\frac{a+b}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，当且仅当a=b=$\frac{1}{2}$取等号，
则ab的最大值是$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 此题考查了直线与圆相交的性质，以及基本不等式，根据题意得到已知直线过圆心是本题的突破点．