题目内容

14.已知△ABC中,∠ABC=90°,AB=1.AC=2,若△ABC内部的一点P满足$\frac{{S}_{△PAB}}{PA•PB}$=$\frac{{S}_{△PBC}}{PB•PC}=\frac{{S}_{△PAC}}{PA•PC}$,则PA+PB+PC的值为$\sqrt{7}$.

分析 由三角形的面积公式可得∠APB=∠BPC=∠APC=120°,以AC为底边向三角形ABC外作正三角形ACQ,可得PA+PB+PC=BQ,由余弦定理可得.

解答 解:由三角形的面积公式可得S△PAB=$\frac{1}{2}$•PA•PBsin∠APB,
S△PBC=$\frac{1}{2}$•PB•PCsin∠BPC,S△PAC=$\frac{1}{2}$•PA•PCsin∠APC,
∴已知式子可化为sin∠APB=sin∠BPC=sin∠APC,
由几何关系可得∠APB=∠BPC=∠APC=120°,
以AC为底边向三角形ABC外作正三角形ACQ,
由题意可得∠ABC=90°,AB=1,AC=2,
∴∠BAC=60°,∠BAQ=120°,
故PA+PB+PC=BQ=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}-2×1×2×cos120°}$=$\sqrt{7}$
故答案为:$\sqrt{7}$

点评 本题考查正余弦定理解三角形,涉及三角形的面积公式和余弦定理的应用,属中档题.

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