题目内容
【题目】已知椭圆的右顶点为
,上顶点为
,离心率
,
为坐标原点,圆
与直线
相切.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)已知四边形内接于椭圆
.记直线
的斜率分别为
,试问
是否为定值?证明你的结论.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)根据直线与圆相切可得关于的方程,再根据离心率
得到
的另一方程,由此解得
,
,从而可得椭圆的方程.(Ⅱ)根据题意设直线
的方程为
,与椭圆方程联立消元后得到二次方程,设
,
,根据根与系数的关系
可得,
.又
,
,然后计算可得
为定值.
试题解析:
(I)直线的方程为
,即
,
由圆与直线
相切,得
,即
①.
又,
所以②.
由①②得,
.
故椭圆的标准方程为
(II)为定值,证明过程如下:
由(I)得直线的方程为
,故可设直线
的方程为
,显然
.
由消去
整理得
,
因为直线与椭圆交于两点,
所以.
设,
,
则,
.
又,
,
所以
.
故是定值.
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练习册系列答案
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.
(1)根据已知条件完成列联表,并根据此资料判断是否有
的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”?
(2)现采用分层抽样从这100名顾客中按照“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量为5的样本,设事件为“从这个样本中任选2人,这2人中至少有1人是不使用手机支付的”,求事件
发生的概率?
列联表
青年 | 中老年 | 合计 | |
使用手机支付 | 60 | ||
不使用手机支付 | 24 | ||
合计 | 100 |
附: