题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,
是平行四边形,
,
,
,
,
,
分别是
,
的中点.
(Ⅰ)证明:平面平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:
(Ⅰ)运用几何法和坐标法两种方法进行证明可得结论.(Ⅱ)运用几何法和坐标法两种方法求解,利用坐标法求解时,在得到两平面法向量夹角余弦值的基础上,通过图形判断出二面角的大小,最后才能得到结论.
试题解析:
解法一:(Ⅰ)取中点
,连
,
∵,
∴,
∵是平行四边形,
,
,
∴,
∴是等边三角形,
∴,
∵,
∴平面
,
∴.
∵分别是
的中点,
∴∥
,
∥
,
∴,
,
∵,
∴平面
,
∵平面
,
∴平面平面
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
,
∴是二面角
的平面角.
,
,
,
在中,根据余弦定理得
,
∴二面角的余弦值为
.
解法二:(Ⅰ)∵是平行四边形,
,
,∴
,
∴是等边三角形,∵
是
的中点,
∴,∵
∥
,
∴.
以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
则,
,
,
,
,
设,由
,
,
可得,
,
,
∴,
∵是
的中点,∴
,
∵,
∴,
∵,
,
∴平面
,
∵平面
,
∴平面平面
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,
.
设是平面
的法向量,
由,得
,
令,则
.
又是平面
的法向量,
∴,
由图形知二面角为钝角,
∴二面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),在以原点为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的普通方程和直线
的倾斜角;
(2)设点,直线
和曲线
交于
两点,求
的值.
【题目】某小店每天以每份5元的价格从食品厂购进若干份食品,然后以每份10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的食品还可以每份1元的价格退回食品厂处理.
(Ⅰ)若小店一天购进16份,求当天的利润(单位:元)关于当天需求量
(单位:份,
)的函数解析式;
(Ⅱ)小店记录了100天这种食品的日需求量(单位:份),整理得下表:
日需求量 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
频数 | 10 | 20 | 16 | 16 | 15 | 13 | 10 |
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
(i)小店一天购进16份这种食品,表示当天的利润(单位:元),求
的分布列及数学期望;
(ii)以小店当天利润的期望值为决策依据,你认为一天应购进食品16份还是17份?
【题目】中国政府实施“互联网+”战略以来,手机作为客户端越来越为人们所青睐,通过手机实现衣食住行消费已经成为一种主要的消费方式,“一机在手,走遍天下”的时代已经到来。在某著名的夜市,随机调查了100名顾客购物时使用手机支付的情况,得到如下的列联表,已知其中从使用手机支付的人群中随机抽取1人,抽到青年的概率为
.
(1)根据已知条件完成列联表,并根据此资料判断是否有
的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”?
(2)现采用分层抽样从这100名顾客中按照“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量为5的样本,设事件为“从这个样本中任选2人,这2人中至少有1人是不使用手机支付的”,求事件
发生的概率?
列联表
青年 | 中老年 | 合计 | |
使用手机支付 | 60 | ||
不使用手机支付 | 24 | ||
合计 | 100 |
附: