题目内容

【题目】如图,四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCDADBCABADAC=3,PABC=4,M为线段AD上一点,AM=2MDNPC的中点.

(1)证明MN∥平面PAB

(2)求四面体NBCM的体积.

【答案】(1)见解析;(2)

【解析】试题分析:(1)取的中点,连接,证得,得出,

,再用线面平行的判定定理,即可作出证明;

2根据题意,得出的距离为,得出,再利用三棱锥的体积公式,即可求得三棱锥的体积.

试题解析:

(1)证明:由已知得AMAD2,如图,取BP的中点T,连接ATTN,由NPC中点知TNBCTNBC2.ADBC,故,所以四边形AMNT为平行四边形,

于是MN∥AT.因为AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN∥平面PAB.

(2)因为PA⊥平面ABCD,NPC的中点,所以N到平面ABCD的距离为PA.

如图,取BC的中点E,连接AE,由AB=AC=3AE⊥BC,AE=.

AM∥BCMBC的距离为,故S△BCM×4×=2

所以四面体N-BCM的体积VN-BCM.

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