Question

【题目】如图，已知椭圆 =1（a＞b＞0），F1、F2分别为椭 圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B、

（1）若∠F1AB=90°，求椭圆的离心率；
（2）若 =2 ， = ，求椭圆的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：若∠F1AB=90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA=OF2，即b=C、

所以a= c，e= = ．

（2）解：由题知A（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），

其中，c= ，设B（x，y）．

由 =2 （c，﹣b）=2（x﹣c，y），解得x= ，

y=﹣ ，即B（ ，﹣ ）．

将B点坐标代入 =1，得 + =1，

即 + =1，

解得a2=3c2．①

又由 =（﹣c，﹣b）（ ，﹣ ）=

b2﹣c2=1，

即有a2﹣2c2=1．②

由①，②解得c2=1，a2=3，从而有b2=2．

所以椭圆方程为 + =1．

【解析】（1）根据∠F1AB=90°推断出△AOF2为等腰直角三角形，进而可知OA=OF2，求得b和c的关系，进而可求得a和c的关系，即椭圆的离心率．（2）根据题意可推断出A，和两个焦点的坐标，设出B的坐标，利用已知条件中向量的关系，求得x和y关于c的表达式，代入椭圆方程求得a和c的关系，利用 = 求得a和c的关系，最后联立求得a和b，则椭圆方程可得．