题目内容
2.甲、乙、丙三位学生独立地解同一道题,甲乙做对的概率分别为$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{3}$,丙做对的概率为m,且三位学生是否做对相互独立.记ξ为这三位学生中做对该题的人数,其分布列为:ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
P | $\frac{1}{4}$ | a | b | $\frac{1}{24}$ |
(2)求m的值;
(3)求ξ的数学期望.
分析 (1)由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“ξ=0”是对立事件,由此能求出至少有一位学生做对该题的概率.
(2)设“甲做对”为事件A,“乙做对”为事件B,“丙做对”为事件C,由题意得P(ξ=3)=P(ABC),由此能求出m.
(3)由题意先求出a和b,由此利用分布列能求出ξ的数学期望.
解答 解:(1)由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“ξ=0”是对立事件,
∴由已知得至少有一位学生做对该题的概率p=1-P(ξ=0)=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$.
(2)设“甲做对”为事件A,“乙做对”为事件B,“丙做对”为事件C,
由题意得P(A)=$\frac{1}{2}$,P(B)=$\frac{1}{3}$,P(C)=m,
由题意得P(ξ=3)=P(ABC)=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×m$=$\frac{1}{24}$,
解得m=$\frac{1}{4}$.
(3)由题意得:
a=P(ξ=1)=P(A$\overline{B}\overline{C}$)+P($\overline{A}B\overline{C}$)+P($\overline{A}\overline{B}C$)
=$\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×(1-\frac{1}{4})$+$\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3})×\frac{1}{4}$
=$\frac{11}{24}$.
b=P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)
=1-$\frac{1}{4}$-$\frac{11}{24}$-$\frac{1}{24}$
=$\frac{1}{4}$,
∴ξ的数学期望Eξ=$0×\frac{1}{4}+1×\frac{11}{24}+2×\frac{1}{4}+3×\frac{1}{24}$=$\frac{13}{12}$.
点评 本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题,解题时要注意排列组合知识的合理运用.
A. | (-∞,-1) | B. | (-∞,0) | C. | (0,+∞) | D. | (-1,+∞) |
A. | (-∞,0) | B. | (-∞,1) | C. | (0,1) | D. | (-∞,0)∪(1,+∞) |
喜欢 | 不喜欢 | 合计 | |
男 | 20 | 5 | 25 |
女 | 10 | 20 | 30 |
合计 | 30 | 25 | 55 |
(2)用分层抽样的方法从喜欢观看体育节目的市民中随机抽取6人作进一步调查,将这6位市民作为一个样本,从中任选2人,求男市民人数ξ的分布列和期望.
下面的临界值表参考:
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |