Question

13．已知函数f（x）=2ax²+4x-3-a，a∈R．
（1）当a=1时，求函数f（x）在[-1，1]上的最大值；
（2）如果函数f（x）在区间[-1，1]上存在两个不同的零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，则f（x）=2x²+4x-4=2（x²+2x）-4=2（x+1）²-6，由此可得f（x）的最大值f（1）的值．
（2）当a=0时，经检验满足条件．当a≠0时，令△=0求得a=-1，a=-2，经检验都满足条件．
当f（-1）•f（1）≤0时，求出a的取值范围．当y=f（x）在区间[-1，1]上有两个零点时，
利用二次函数的性质求得实数a的取值范围．再把以上实数a的取值范围取并集，即得所求．

解答 解：（1）当a=1时，则f（x）=2x²+4x-4=2（x²+2x）-4=2（x+1）²-6．
因为x∈[-1，1]，所以x=1时，f（x）的最大值f（1）=2．…（3分）
（2），若a=0时，f（x）=4x-3，显然在区间[-1，1]上有零点，所以a=0时，命题不成立．…（4分）
若a≠0时，令△=16+8a（3+a）=8（a+1）（a+2）=0，解得a=-1，a=-2．   …（5分）
①当a=-1时，f（x）=-2x²+4x-2=-2（x-1）²，f（x）的零点为 x=1，满足条件．
②当 a=-2时，f（x）=-4x²+4x-1=-4（x-$\frac{1}{2}$）²，求得函数的零点 x=$\frac{1}{2}$，满足条件．
所以当 a=0，-1，-2时，y=f（x）均恰有一个零点在区间[-1，1]上．…（7分）
③当f（-1）•f（1）=（a-7）（a+1）≤0，即-1≤a≤7时，
y=f（x）在区间[-1，1]上必有零点．…（8分）
④若y=f（x）在区间[-1，1]上有两个零点，则$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△=8（a+1）（a+2）＞0\\-1＜-\frac{1}{a}＜1\\ f（-1）≥0\\ f（1）≥0\end{array}\right.$，
或$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\△=8（a+1）（a+2）＞0\\-1＜-\frac{1}{a}＜1\\ f（-1）≤0\\ f（1）≤0\end{array}\right.$．…（12分）
解得a≥7或a＜-2．
综上所述，函数f（x）在区间[-1，1]上存在极值点，实数a的取值范围是{a|a≥-1，或a≤-2}，
故答案为 {a|0＞a≥-1，或a≤-2或a＞0}．…（13分）

点评 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，求函数的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．