Question

12．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm²）为$\frac{20+\sqrt{133}+\sqrt{61}}{2}$cm²

Answer 1

分析 根据几何体的三视图，得出该几何体是侧面垂直于底面的三棱锥，
求出各条棱长，再计算各个面的三角形面积，即得全面积．

解答 解：根据几何体的三视图，得
该几何体是如图所示的三棱锥S-ABC，且侧面SAC⊥底面ABC；
又SD⊥AC于D，∴SD⊥底面ABC；
又BE⊥AC与E，∴AB=BC=$\sqrt{{2}^{2}{+3}^{2}}$=$\sqrt{13}$；
SC=$\sqrt{{2}^{2}{+1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
SA=$\sqrt{{2}^{2}{+3}^{2}}$=$\sqrt{13}$；
 AC=4，BD=$\sqrt{{3}^{2}{+1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴SB=$\sqrt{{2}^{2}{+（\sqrt{10}）}^{2}}$=$\sqrt{14}$；
∴△ABC的面积为S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4×3=6，
△SAC的面积为S_△SAC=$\frac{1}{2}$×4×2=4；
△SAB的面积为S_△SAB=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{14}$×$\sqrt{{（\sqrt{13}）}^{2}{-（\frac{\sqrt{14}}{2}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{133}}{2}$，
又cos∠SCB=$\frac{{（\sqrt{5}）}^{2}{+（\sqrt{13}）}^{2}{-（\sqrt{14}）}^{2}}{2×\sqrt{5}×\sqrt{13}}$=$\frac{2}{\sqrt{65}}$，
∴sin∠SCB=$\sqrt{1{-（\frac{2}{\sqrt{65}}）}^{2}}$=$\sqrt{\frac{61}{65}}$，
∴△SBC的面积为S_△SBC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×$\sqrt{13}$×$\sqrt{\frac{61}{65}}$=$\frac{\sqrt{61}}{2}$；
∴该三棱锥的全面积为
S_△ABC+S_△SAC+S_△SAB+S_△SCB=6+4+$\frac{\sqrt{133}}{2}$+$\frac{\sqrt{61}}{2}$=$\frac{20+\sqrt{133}+\sqrt{61}}{2}$cm²．
故答案为：$\frac{20+\sqrt{133}+\sqrt{61}}{2}$cm²．

点评 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了三角形面积的计算问题，是综合性题目．