题目内容
15.
(1)求证:AB⊥平面ACD;
(2)求MN的长.
分析 (1)由题意可证AC⊥AB,AC⊥CD,利用勾股定理可得AD=$\sqrt{20}$,在△ABD中,可求BD2=AB2+AD2,由勾股定理可得:AB⊥AD,从而可证AB⊥平面ACD;
(2)取AD的中点E,连接ME,NE,则由(1)可得:NE⊥ME,且ME=$\frac{1}{2}$CD=2,NE=$\frac{1}{2}AB$=2,从而在△MNE中由勾股定理可求MN的值.
解答 证明:(1)∵AC⊥平面α,AB∥平面α,CD?平面α,
∴AC⊥AB,AC⊥CD,
∴由AC=2,CD=4,利用勾股定理可得:AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{20}$,
∴在△ABD中,有:BD2=62=36=AB2+AD2=42+($\sqrt{20}$)2,由勾股定理可得:AB⊥AD,
∵AD∩AC=A,
∴AB⊥平面ACD;
(2)取AD的中点E,连接ME,NE,则EN∥AB,ME?平面ACD,
由(1)可得:NE⊥ME,且ME=$\frac{1}{2}$CD=2,NE=$\frac{1}{2}AB$=2,
故在△MNE中,由勾股定理可得:MN=$\sqrt{M{E}^{2}+N{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$.
点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定,考查了空间想象能力和推论论证能力,属于基本知识的考查.

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10.若两点P(-1,3)、Q(2,b)的距离为$\sqrt{13}$,则b的值为( )
A. | 2 | B. | 2或4 | C. | 1或5 | D. | 5 |