题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,
,且
.
(Ⅰ)当时,证明:平面
平面
;
(Ⅱ)当四棱锥的体积为
,且二面角
为钝角时,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(Ⅰ)取的中点
,连接
,由正三角形的性质可得
,由勾股定理可得
,根据线面垂直的判定定理可得
平面
,从而根据面面垂直的判定定理可得平面
平面
;(Ⅱ)根据四棱锥
的体积为
,可得
,∴
,以
为坐标原点,以
为
轴,
轴.在平面
内过点
作垂直于平面
的直线为
轴,建立空间直角坐标系
,算出直线
的方向向量与平面
的法向量,根据空间向量夹角的余弦公式可得结果.
试题解析:(Ⅰ)取的中点
,连接
,
∵为正三角形,∴
,
∵,∴
,
∵,∴
,
∴四边形为矩形,∴
,
在中,
,
,
,∴
,∴
,
∵,∴
平面
,
∵平面
,∴平面
平面
.
(Ⅱ)∵,
,
,
平面
,∴
平面
,
∵平面
,∴平面
平面
,
∴过点作
平面
,垂足
一定落在平面
与平面
的交线
上.
∵四棱锥的体积为
,
∴
,∴
,
∵,∴
.
如图,以为坐标原点,以
为
轴,
轴.
在平面内过点
作垂直于平面
的直线为
轴,建立空间直角坐标系
,
由题意可知,
,
,
,
,
,
设平面的一个法向量为
,则
,得
,
令,则
,∴
,
,设直线
与平面
所成的角为
,
则
.
则直线与平面
所成角的正弦值为
.
【方法点晴】本题主要考查利用线面垂直、面面垂直的判定定理以及空间向量求线面角,属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.

练习册系列答案
相关题目