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【题目】数学家欧拉在年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知
的顶点
、
,若其欧拉线方程为
,则顶点
的坐标是( )
参考公式:若的顶点
、
、
的坐标分别是
、
、
,则该
的重心的坐标为
.
A.B.
,
C.,
D.
【答案】A
【解析】
设点的坐标为
,由重心的坐标公式求得该三角形的重心坐标,代入欧拉线方程得一方程,求出线段
的垂直平分线方程,和欧拉线方程联立求出三角形的外心,由外心到两个顶点的距离相等得出另一方程,两方程联立可求出点
的坐标.
设点的坐标为
,由重心的坐标公式可知
的重心为
,
代入欧拉线方程得,整理得
,①
线段的中点坐标为
,直线
的斜率为
,
线段的垂直平分线方程为
,即
,
联立,解得
,所以,
的外心为
,
则,整理得
,②
联立①②得或
,
当,
时,点
、
重合,舍去,因此,顶点
的坐标是
.
故答案为:.
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