题目内容
【题目】已知函数.
(1)若不等式的解集是
,求
的值;
(2)当时,若不等式
对一切实数
恒成立,求
的取值范围;
(3)当时,设
,若存在
,使得
成立,求
的取值范围.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
(1)根据不等式的解集可以得到相对应的不等式,再结合已知不等式直接求解即可;
(2)分类讨论,结合一次函数的性质和二次函数的性质直接求解即可;
(3)(方法1)对函数的解析式进行配方,利用零点存在原理,结合一元二次方程根的分布性质直接求解即可;
(方法2) 因为存在,使得
成立,所以关于
的方程
有两个不等实根,且至少有一根在
内,这样结合一元二次方程根的分布性、函数的单调性直接求解即可.
(1)因为
,
所以
(2)当时,不等式
.
若,则不等式
不恒成立.
则由题意可得解得
即的取值范围是
(3)(方法1).
因为存在,使得
成立,所以函数
在区间
内的值有正有负.
所以必须有,解得
或
①
若,即
,亦即
,则
,于是必须满足
,所以
. ②
若,即
,则
,必有
,不满足条件.
若,即
,则
,不满足条件.
由①②解得的取值范围是
(方法2)因为存在,使得
成立,
所以关于的方程
有两个不等实根,且至少有一根在
内.
由,解得
或
①
当时,
,
由得
,令
,所以
,
,该函数在
单调递减,在
上单调递增,所以
,所以
②
由①②得的取值范围是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】2019年4月22日是第50个世界地球日,半个世纪以来,这一呼吁热爱地球环境的运动已经演变为席卷全球的绿色风暴,让越来越多的人认识到保护环境、珍惜自然对人类未来的重要性.今年,自然资源部地球日的主题是“珍爱美丽地球,守护自然资源”.某中学举办了以“珍爱美地球,守护自然资源”为主题的知识竞赛.赛后从该校高一和高二年级的参赛者中随机抽取100人,将他们的竞赛成绩分为7组:[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并得到如下频率分布表:
现规定,“竞赛成绩≥80分”为“优秀”“竞赛成绩<80分”为“非优秀”
(Ⅰ)请将下面的2×2列联表补充完整;
优秀 | 非优秀 | 合计 | |
高一 | 50 | ||
高二 | 15 | ||
合计 | 100 |
(Ⅱ)判断是否有99%的把握认为“竞赛成绩与年级有关”?
附:独立性检验界值