题目内容

已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0,且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{bn}的第二、三、四项.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)令数列{cn}满足:cn,求数列{cn}的前101项之和T101
(3)设数列{cn}对任意n∈N*,均有+…+=an+1成立,求c1+c2+…+c2012的值.
(1)an=2n-1.   bn=3n-1           
(2)5151+      
(3)c1+c2+…+c2012=3+2×3+2×32+…+2×32011=32012.   
(1) 第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{bn}的第二、三、四项,可建立关于d,b1,q的三个方程解方程组即可求解.
(2) 解本题关键是T101=(a1+a3+…+a101)+(b2+b4+…+b100).然后分组求和即可.
(3)先根据+…+=an+1,求出{}的通项公式,然后根据通项公式的特点采用数列求和的方法求和即可.
(1)由题意得:(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2         (d>0),
解得d=2,∴an=2n-1.       …………………………………………2分
∴b2=a2=3, b3=a5=9,∴bn=3n-1 …………………………………………4分
(2)∵a101=201,b2=3
∴T101=(a1+a3+…+a101)+(b2+b4+…+b100)=
=5151+                     …………………10分
(3)当n≥2时,由+…+-(+…+)=an+1-an=2
得cn=2bn=2·3n-1
当n=1时,c1=3.故cn ……………………………13分
故c1+c2+…+c2012=3+2×3+2×32+…+2×32011=32012
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