题目内容
【题目】已知函数,
,(其中
是自然对数的底数).
(1),
使得不等式
成立,试求实数
的取值范围.
(2)若,求证:
.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】试题分析:
(1)问题等价于,分别讨论函数
的性质可得:实数m的取值范围为
.
(2) 问题等价于,令
,可得
的最小值为1.
令,其可看作点
与点
连线的斜率,可得
取得最大值为1.据此即可得
.
试题解析:
解:(1)因为不等式等价于
,
所以,
使得不等式
成立,等价于
,即
,
当时,
,故在区间
上单调递增,所以
时,
取得最小值
.
又,由于
,
,
,
所以,故
在区间
上单调递减,因此
时,
取得最大值
.
所以,所以
.
所以实数的取值范围为.
(2)当时,要证
,只要证
,
只要证,
只要证,
由于,
,只要证
.
下面证明时,不等式
成立,
令,则
,
当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增.
所以当且仅当时,
取得极小值也就是最小值为1.
令,其可看作点
与点
连线的斜率,
所以直线的方程为
,
由于点在圆
,所以直线
与圆
相交或相切.
当直线与圆
相切且切点在第二象限时,直线
的斜率
取得最大值为1.
故时,
;
时,
.
综上所述:时时,
成立.
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