题目内容
【题目】如图, 是半圆
的直径,
是半圆
上除
、
外的一个动点,
垂直于半圆
所在的平面,
,
,
,
.
(1)证明:平面平面
;
(2)当三棱锥体积最大时,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:
(1)利用题意首先证得平面
,然后利用面面垂直的判断定理即可证得平面
平面
.
(2)由题意可得,当且仅当时,三棱锥
体积最大,建立空间直角坐标系可得二面角
的余弦值为
.
试题解析:
解:(1)因为是直径,所以
,
因为平面
,所以
,
因为,所以
平面
,
因为,
,
所以四边形是平行四边形,
所以,所以
平面
,
因为平面
,所以平面
平面
.
(2)因为平面
,
,
所以平面
,
,
在中,
,
由(1)知,
当且仅当时,等号成立.
如图所示,建立空间直角坐标系,则,
,
,
.
则,
,
,
.
设平面的一个法向量为
,
则,即
,
∴,取
,则
,
设平面的一个法向量为
,
则,即
,
∴,取
,则
,
∴,
∴二面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某网站针对2015年中国好声音歌手A,B,C三人进行网上投票,结果如下
观众年龄 | 支持A | 支持B | 支持C |
20岁以下 | 100 | 200 | 600 |
20岁以上(含20岁) | 100 | 100 | 400 |
(1)在所有参与该活动的人中,用分层抽样的方法抽取n人,其中有6人支持A,求n的值.
(2)在支持C的人中,用分层抽样的方法抽取5人作为一个总体,从这5人中任意选取2人,求恰有1人在20岁以下的概率.
【题目】随着人口老龄化的到来,我国的劳动力人口在不断减少,“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题,为了解公众对“延迟退休”的态度,某校课外研究性学习小组在某社区随机抽取了50人进行调查,将调查情况进行整理后制成下表:
年龄 | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40) | [40,45) |
人数 | 4 | 5 | 8 | 5 | 3 |
年龄 | [45,50) | [50,55) | [55,60) | [60,65) | [65,70) |
人数 | 6 | 7 | 3 | 5 | 4 |
经调查年龄在[25,30),[55,60)的被调查者中赞成“延迟退休”的人数分别是3人和2人.现从这两组的被调查者中各随机选取2人,进行跟踪调查.
(I)求年龄在[25,30)的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休”的概率;
(II)若选中的4人中,不赞成“延迟退休”的人数为,求随机变量
的分布列和数学期望.