题目内容
【题目】设函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)如果对所有的,都有
,求
的取值范围.
【答案】(1)函数在
上单调递减,在
上单调递增.(2)
【解析】试题分析:
(1)求出导函数,解不等式
得增区间,解不等式
得减区间;
(2)不等式恒成立,可以变形为
恒成立,因此只要求出
的最大值,由最大值小于或等于0可得,也要可变形为
,只要求得
的最大值即可,这些最值可通过导数知识进行求解.
试题解析:
(1)的定义域为
,
,
当时,
,当
时,
,
所以函数在
上单调递减,在
上单调递增.
(2)法一:设,则
,
因为,所以
.
(i)当时,
,
,所以
在
上单调递减,而
,
所以对所有的,
,即
;
(ii)当时,
,若
,则
,
单调递增,
而,所以当
时,
,即
;
(iii)当时,
,
,所以
在
单调递增,而
,
所以对所有的,
,即
;
综上, 的取值范围是
.
法二:当时,
,
令,则
,
令,则
,当
时,
,
于是在
上为减函数,从而
,因此
,
于是在
上为减函数,所以当
时
有最大值
,
故,即
的取值范围是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】随着人口老龄化的到来,我国的劳动力人口在不断减少,“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题,为了解公众对“延迟退休”的态度,某校课外研究性学习小组在某社区随机抽取了50人进行调查,将调查情况进行整理后制成下表:
年龄 | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40) | [40,45) |
人数 | 4 | 5 | 8 | 5 | 3 |
年龄 | [45,50) | [50,55) | [55,60) | [60,65) | [65,70) |
人数 | 6 | 7 | 3 | 5 | 4 |
经调查年龄在[25,30),[55,60)的被调查者中赞成“延迟退休”的人数分别是3人和2人.现从这两组的被调查者中各随机选取2人,进行跟踪调查.
(I)求年龄在[25,30)的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休”的概率;
(II)若选中的4人中,不赞成“延迟退休”的人数为,求随机变量
的分布列和数学期望.