题目内容
【题目】已知函数
，
，其中
，（
）.
（1）若函数
有极值
，求
的值；
（2）若函数
在区间
上为减函数，求的取值范围；
（3）证明：
.
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
试题分析：（1）先对函数
求导，再对
的取值范围讨论来判断函数在
上的单调性，进而可得函数在上的极值，利用函数
有极值1，即可得的值；（2）由已知得：
在
上恒成立，进而可得
在上恒成立，设
，对函数
求导，再判断函数在
上的单调性，进而可得函数在上的取值范围，即可得的取值范围；（3）由（2）可得
，进而可得
，代入，化简，即可证
.
试题解析：（1）解：∵
，
∴
1分
①若
，则对任意的
都有
，即函数
在
上单调递减
函数在上无极值 2分
②若
，由
得
当
时，当
时，
即函数在
单调递减，在
单调递增
∴函数在处有极小值
∴
∴4分
（2）解法1：∵函数
=
在区间上为减函数且当
时，
∴在上恒成立
在上恒成立 5分
设，则
7分
当
时，
，
所以
在上恒成立，即函数
在上单调递减 8分
∴当时，
∴9分
[解法2：∵函数=在区间上为减函数
∴对
，（
）恒成立 5分
∵
∴
当时，（）式显然成立 6分
当时，（）式
在上恒成立
设
，易知
在上单调递增 7分
∴
∴
8分
综上得
9分]
（3）证法1：由（2）知，当时，
10分
∵对任意的
有
∴
∴12分
∴
即14分
[证法2：先证明当
时，
令
,则
对任意的
恒成立 10分
∴函数
在区间
上单调递减
∴当时，
11分
∵对任意的，
而
12分
∴
14分]
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