题目内容

16.设实数集S是满足下面两个条件的集合:
①1∉S,②若a∈S,则$\frac{1}{1-a}$∈S
(1)求证:若a∈S,则1-$\frac{1}{a}$∈S;
(2)若2∈S,则在S中必含有其他的两个数,试求出这两个数;
(3)求证:集合S中至少有三个不同的元素.

分析 利用两个条件:①1∉S;②若a∈S,则$\frac{1}{1-a}$∈S,
(1)将$\frac{1}{1-a}$代入可证得:1-$\frac{1}{a}$∈S;
(2)将a=2代入,可求出另外的两个元素;
(3)证明a,1-$\frac{1}{a}$,$\frac{1}{1-a}$不相等,可证得结论.

解答 (1)证明:若a∈S,则$\frac{1}{1-a}$∈S
∴$\frac{1}{1-\frac{1}{1-a}}$∈S,
∴1-$\frac{1}{a}$∈S;
(2)解:若2∈S,则$\frac{1}{1-2}$=-1∈S,则$\frac{1}{1-(-1)}$=$\frac{1}{2}$∈S,
所以另外两个数是-1和$\frac{1}{2}$.
(3)证明:由(1)得:1-$\frac{1}{a}$∈S;
令1-$\frac{1}{a}$=a,即a2-a+1=0,
此时判别式△=1-4=-3<0,方程无解,
同理1-$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{1-a}$也无解,
故集合S中至少有三个不同的元素:a,1-$\frac{1}{a}$,$\frac{1}{1-a}$.

点评 本题主要考查集合元素和集合关系的判断,考查学生的推理和分析能力.

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