Question

20．某中学举行了一次“环保知识竞赛”．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分100分）作为样本（样本容量为疗）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．

（Ⅰ）求样本容量月和频率分布直方图中x，y的值；
（Ⅱ）把在[60，70），[70，80），[80，90）的成绩分组的学生按分层抽样的方法抽取8人．求[60，70），[70，80），[80，90）成绩分组中各应该抽取的人数；
（Ⅲ）在（II）中的8人中随机抽取4名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，记X为成绩在[60，70）的人数，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由样本容量和频数频率的关系能求出样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值．
（Ⅱ）利用分层抽样，可得分组中各应该抽取的人数；
（Ⅲ）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列及数学期望．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量n=$\frac{8}{0.016×10}$=50，y=$\frac{2}{50×10}$=0.004，
x=0.1-0.004-0.010-0.016-0.04=0.030…（3分）
（Ⅱ）在[60，70），[70，80），[80，90）成绩分组的学生分别为15人，20人，5人，
现要按分层抽样抽取8人，则在[60，70），[70，80），[80，90）成绩分组中各抽取3人，4人，1人…（6分）
（Ⅲ）X=0，1，2，3
P（X=0）=$\frac{{C}_{5}^{4}}{{C}_{8}^{4}}$=$\frac{1}{14}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{5}^{3}{C}_{3}^{1}}{{C}_{8}^{4}}$=$\frac{3}{7}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{3}^{2}}{{C}_{8}^{4}}$=$\frac{3}{7}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{3}^{3}}{{C}_{8}^{4}}$=$\frac{1}{14}$．
X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{14}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{1}{14}$

…（10分）．
∴EX=0×$\frac{1}{14}$+1×$\frac{3}{7}$+2×$\frac{3}{7}$+3×$\frac{1}{14}$=$\frac{3}{2}$…（12分）

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查随机变量X的分布列及数学期望的求法，是中档题．