Question

9．已知向量$\overrightarrow{m}$=（cos²x，sinx），$\overrightarrow{n}$=（2，2$\sqrt{3}$cosx），设函数g（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，把g（x）的图象上所有的点向右平移$\frac{5π}{12}$个单位，再向下平移1个单位，得到函数f（x）的图象．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，∠A、∠B、∠C对应的边分别是a、b、c，已知函数f（x）最小正零点为A，△ABC的面积S=5$\sqrt{3}$，b=5，求边长a的值．

Answer 1

分析 （1）首先通过三角函数的恒等变换，把函数的关系式变性成正弦型函数，进一步通过三角函数的图象变换得出结果．
（2）利用上步求出的函数的关系式，进一步利用函数的零点求出A的值，进一步利用三角形的面积和余弦定理求出结果．

解答 解：（1）已知向量$\overrightarrow{m}$=（cos²x，sinx），$\overrightarrow{n}$=（2，2$\sqrt{3}$cosx），设函数g（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，
则：g（x）=$2{cos}^{2}x+2\sqrt{3}sinxcosx$
=$\sqrt{3}sin2x+cos2x+1$
=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$
所以：把g（x）的图象上所有的点向右平移$\frac{5π}{12}$个单位，再向下平移1个单位，
得到函数f（x）=$2sin[2（x-\frac{5}{12}π）+\frac{π}{6}]+1-1$
=2$sin（2x-\frac{2}{3}π）$
（2）在△ABC中，∠A、∠B、∠C对应的边分别是a、b、c，已知函数f（x）最小正零点为A，
则：$f（A）=2sin（2A-\frac{2}{3}π）=0$
由于：0＜A＜π，
解得：A=$\frac{π}{3}$．
由于△ABC的面积S=5$\sqrt{3}$，b=5
所以：S=$\frac{1}{2}bcsinA=5\sqrt{3}$，
解得：c=4．
所以：a²=b²+c²-2bccosA
解得：a=$\sqrt{21}$．

点评 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换，正弦型函数的零点的应用，三角形面积及余弦定理的应用．主要考查学生的应用能力．