Question

【题目】如图，已知四棱锥，平面⊥平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点.

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）取的中点，连接，，可得，，根据勾股定理可得，从而可得，再利用线面垂直的判定定理可得平面，即证.

（2）方法1：（体积法），利用求出到平面的距离为，利用线面角的定义即可求解；方法2：（坐标法），以点为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用即可求解.

解析：（1）取的中点，连接，.

因为，所以.

另一方面，因为是的中位线，所以.

设，则，，，

所以.

所以，故.

所以平面.

所以.

（2）方法1：（体积法）

因为平面平面于，平面，，

所以平面.

三棱锥的体积为.

取的中点，连接，，所以.

又由平面知，所以平面，故.

因为，，所以，所以.

设到平面的距离为，则由知，解得.

又，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

方法2：（坐标法）

因为平面平面于，

平面，，所以平面.

建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，

，.

所以，.

设平面的一个法向量为，

则，取，则.

又，所以直线与平面所成角的正弦值为

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