题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,证明:
(i);
(ii)证明:.
【答案】(1)详见解析;(2)(i)证明见解析;(ii)证明见解析
【解析】
(1)求出导函数,再令
进行二次求导.讨论
的取值范围,求出
和
的解集,也即求出
的单调区间;
(2)(i)将代入
,得
,利用作差法构造函数
,根据导函数求出其最大值为0,则原不等式得证;
(ii)由(i)知,即
由此得
,则
,即
,再根据裂项相消法求和,即可证明该不等式.
解:(1),
令,
①当时,
,
在
上单调递增;
②当时,若
,
,
单调递增,
若,
,
单调递减;
③当时,若
,
,
单调递减,
若,
,
单调递增.
综上,当时,
在
上单调递增;
当时,
在
上调递增,在
上单调递减;
当时,
在
上单调递减,在
上单调递增.
(2)(i)当时,
,所以
,
令,则
,
若,
,
单调递增;
若,
,
单调递减.
,
即,即
.
(ii)当时,
,
.
由(i)知,即
,
令得
,即
,
所以
,
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某省年开始将全面实施新高考方案.在
门选择性考试科目中,物理、历史这两门科目采用原始分计分;思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分,将每科考生的原始分从高到低划分为
,
,
,
,
共
个等级,各等级人数所占比例分别为
、
、
、
和
,并按给定的公式进行转换赋分.该省组织了一次高一年级统一考试,并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分.
(1)某校生物学科获得等级的共有10名学生,其原始分及转换分如下表:
原始分 | 91 | 90 | 89 | 88 | 87 | 85 | 83 | 82 |
转换分 | 100 | 99 | 97 | 95 | 94 | 91 | 88 | 86 |
人数 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 1 | 1 |
现从这10名学生中随机抽取3人,设这3人中生物转换分不低于分的人数为
,求
的分布列和数学期望;
(2)假设该省此次高一学生生物学科原始分服从正态分布
.若
,令
,则
,请解决下列问题:
①若以此次高一学生生物学科原始分等级的最低分为实施分层教学的划线分,试估计该划线分大约为多少分?(结果保留为整数)
②现随机抽取了该省名高一学生的此次生物学科的原始分,若这些学生的原始分相互独立,记
为被抽到的原始分不低于
分的学生人数,求
取得最大值时
的值.
附:若,则
,
.