Question

【题目】已知函数．

（1）当a∈R时，讨论函数f（x）的单调性；

（2）对任意的x∈（1，+∞）均有f（x）＜ax，若a∈Z，求a的最小值．

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）a的最小值为3

【解析】

（1）求得函数的导数，令，分情况讨论，进而可得求得函数的单调性；

（2）由得到，转化为，对任意成立，令，利用导数求得函数的最大值，即可求得实数的最小值．

（1）由题意，函数，

则，x＞0且x≠1，

令，则其图象对称轴为直线x，g（0）＝10，

当，即a≥20时，则g（x）＞0，f′（x）＞0，

此时f（x）分别在（0，1）和（1，+∞）上递增，

当时，即a＜20时，令△＝（a﹣20）2﹣400≤0．可得0≤a＜20，

所以当0≤a＜20时，则g（x）＞0，f′（x）＞0，

此时f（x）分别在（0，1）和（1，+∞）上递增，

当a＜0时，由g（x）＝0解得x1，x2，

易知f（x）分别在（0，x1），（x2，+∞）上递增，分别在（x1，1），（1，x2）上递减．

综上所述，当a≥0时，f（x）分别在（0，1）和（1，+∞）上递增，

当a＜0时，分别在（0，x1），（x2，+∞）上递增，分别在（x1，1），（1，x2）上递减．

（2）由题意得，，

即，对任意成立，

令F（x），x＞1，则，x＞1，

令h（x）＝（2﹣x）lnx+x﹣1，h′（x）＝﹣lnx，x＞1

因为h′（x）在（1，+∞）上递减，且h′（1）＝2＞0，当x→+∞时，h′（x）→﹣∞，

所以存在x0∈（1，+∞），使得h′（x0）＝0，且h（x）在（1，x0）上递增，在（x0，+∞）上递减，

因为h（1）＝0，所以h（x0）＞0，

因为当x→+∞时，h（x）→﹣∞，所以存在x1∈（x0，+∞），使得h（x1）＝0，

且F（x）在（1，x1）上递增，在（x1，+∞）上递减，

所以F（x）max＝F（x1），

因为h（x1）＝（2﹣x1）lnx1+x1﹣1＝0，所以lnx1，所以F（x1），

因为h（4）＝﹣2ln4+3＝ln0，h（5）＝﹣3ln5+4＝ln0，所以x1∈[4，5]，

令Φ（x），x∈[4，5]，易证Φ（x）在区间[4，5]上递减，

所以Φ（x）∈[，]，

即F（x）max∈[，]，因为a∈Z，所以a的最小值为3．