题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)当时,求
的最小值.
(Ⅱ)若在区间
上有两个极值点
,
(i)求实数的取值范围;
(ii)求证:.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)(i)
;(ii)详见解析.
【解析】
(Ⅰ)求出,列表讨论
的单调性,问题得解。
(Ⅱ)(i)由在区间
上有两个极值点转化成
有两个零点,即
有两个零点,求出
,讨论
的单调性,问题得解。
(ii)由得
,将
转化成
,由
得单调性可得
,讨论
在
的单调性即可得证。
解:(Ⅰ)当时,
,
,令
,得
.
的单调性如下表:
| | | |
| - | 0 | + |
| 单调递减 | | 单调递增 |
易知.
(Ⅱ)(i).令
,则
.
令,得
.
的单调性如下表:
| | | |
| - | 0 | + |
| 单调递减 | | 单调递增 |
在区间
上有两个极值点,即
在区间
上有两个零点,
结合的单调性可知,
且
,即
且
.
所以,即
的取值范围是
.
(ii)由(i)知,所以
.
又,
,
,结合
的单调性可知,
.
令,则
.当
时,
,
,
,
所以在
上单调递增,而
,
,
因此.
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