题目内容
【题目】已知是定义在
上的奇函数,且
.若对任意的
,
,都有
.
(1)判断函数的单调性,并说明理由;
(2)若,求实数
的取值范围;.
(3)若不等式对任意
和
都恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)在
上是增函数,证明见详解(2)
(3)
.
【解析】
(1)设任意,满足
,利用函数单调性定义证明(2)根据函数单调性
可化为
,求解即可(3)不等式
对任意
和
都恒成立转化为
对任意
都恒成立,令
,转化为
对
恒成立,根据一次函数的性质即可求解.
(1)在
上是增函数,证明如下:
设任意,满足
,
,
即,
所以函数在
上是增函数.
(2)因为函数在
上是增函数,
所以原不等式可化为,
解得,
所以实数的取值范围为
.
(3)因为不等式对任意
和
都恒成立,
所以对任意
都恒成立,由(1)知
故对任意
都恒成立,
即对任意
都恒成立,
令,
则只需,解得
所以实数的取值范围为
.
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