题目内容
【题目】已知椭圆Γ:+
=1(a>b>0)的长轴长为4,离心率为
.
(1)求椭圆Γ的标准方程;
(2)过P(1,0)作动直线AB交椭圆Γ于A,B两点,Q(4,3)为平面上一定点连接QA,QB,设直线QA,QB的斜率分别为k1,k2,问k1+k2是否为定值,如果是,则求出该定值;否则,说明理由.
【答案】(1)+
=1 (2)见解析
【解析】
(1)依题意2a=4,a=2,e==
,则c=
,由椭圆的几何性质可得b的值,代入椭圆的方程即可得答案;
(2)根据题意,分2种情况讨论:当直线l的斜率存在时,设其方程为y=k(x-1),联立直线与椭圆的方程,由根与系数的关系分析可得k1+k2的值,当直线l的斜率不存在时,求出A、B的坐标,计算可得k1+k2的值,综合即可得答案.
(1)依题意2a=4,a=2,e==
,则c=
,则b2=a2-c2=2,
∴椭圆Γ的标准方程为+
=1.
(2)当直线AB的斜率存在时,设直线AB:y=k(x-1),
与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2),
由,消y整理可得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-4=0,显然△>0,
∴x1+x2=,x1x2=
,
从而k1+k2=+
=
+
=k+
+k+
,
=2k+(3k-3)(+
),
=2k+(3k-3),
=2k+(3k-3),
=2k+(3k-3)(-)=2,
当直线AB的斜率不存在时,A(1,),B(1,-
),则k1+k2=
+
=2,
综上所述k1+k2=2.
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