题目内容
【题目】定义变换将平面内的点
变换到平面内的点
;若曲线
经变换
后得到曲线
,曲线
经变换
后得到曲线
,…,依次类推,曲线
经变换
后得到曲线
,当
时,记曲线
与
、
轴正半轴的交点为
和
,某同学研究后认为曲线
具有如下性质:①对任意的
,曲线
都关于原点对称;②对任意的
,曲线
恒过点
;③对任意的
,曲线
均在矩形
(含边界)的内部,其中
的坐标为
;④记矩形
的面积为
,则
;其中所有正确结论的序号是_______.
【答案】③④
【解析】
在曲线上任取一点
,经变换
后得到曲线
上的点
,…….依次类推,经变换
后得到曲线
上的点
,根据变换
得:
,两边取对数,得到
所以分别以
为首项,以
为公比的等比数列,从而得到
,再根据代入法求轨迹方程,得到
,然后再对四个命题逐一讨论,进而得到正确的结论.
在曲线上任取一点
经变换后得到曲线
上的点
,
曲线经变换
后得到曲线
上的点
,
依次类推,曲线上的点
,
经变换后得到曲线
上的点
,
根据题意得: ,
所以
即
所以分别以
为首项,以
为公比的等比数列.
所以
所以
又因为点在曲线
上
所以
①点不适合
,所以曲线
不关于原点对称;故错误.
②令 所以曲线
不过点
;故错误.
③令得
,令
,得
,
因为,所以
,
同理所以对任意的
,曲线
均在矩形
(含边界)的内部,其中
的坐标为
;故正确.
④记矩形的面积为
,则
,
故,故正确.
综上:③④正确
故答案为:③④
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