题目内容
17.已知向量$\overrightarrow{m}$=(sinα-2,-cosα),$\overrightarrow{n}$=(-sinα,cosα),其中α∈R.(1)若$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$,求角α;
(2)若|$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{2}$,求cos2α的值.
分析 (1)由向量垂直的条件:数量积为0,解方程可得角α;
(2)运用向量的平方即为模的平方,求得sinα,再由二倍角公式即可得到所求值.
解答 解:(1)向量$\overrightarrow{m}$=(sinα-2,-cosα),$\overrightarrow{n}$=(-sinα,cosα),
若$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$,则$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0,即为-sinα(sinα-2)-cos2α=0,
即sinα=$\frac{1}{2}$,可得α=2kπ+$\frac{π}{6}$或2kπ+$\frac{5π}{6}$,k∈Z;
(2)若|$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{2}$,即有($\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$)2=2,
即(2sinα-2)2+(2cosα)2=2,
即为4sin2α+4-8sinα+4cos2α=2,
即有8-8sinα=2,可得sinα=$\frac{3}{4}$,
即有cos2α=1-2sin2α=1-2×$\frac{9}{16}$=-$\frac{1}{8}$.
点评 本题考查向量的数量积的性质,考查向量垂直的条件:数量积为0,考查同角的平方关系和二倍角的余弦公式的运用,属于中档题.
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