题目内容
已知抛物线C的顶点在原点,经过点A(1,2),其焦点F在y轴上,直线y=kx+2交抛物线C于A,B两点,M是线段AB的中点,过M作x轴的垂线交抛物线C于点N.
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)证明:抛物线C在点N处的切线与AB平行.
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)证明:抛物线C在点N处的切线与AB平行.
依题意,设抛物线C的方程为y=ax2,
(Ⅰ)∵点A(1,2)在抛物线C上,∴a=1.
∴抛物线C的方程为y=2x2.…(4分)
(Ⅱ)如图,设A(x1,2x12),B(x2,2x22),
把y=kx+2代入y=2x2得:2x2-kx-2=0,
由韦达定理得:x1+x2=
,x1x2=-1,∴xN=xM=
=
,
即N点的坐标为(
,
).…(8分)
设抛物线在点N处的切线l的方程为y-
=m(x-
),
将y=2x2代入上式得:2x2-mx+
-
=0,
∵直线l与抛物线C相切,所以△=m2-8(
-
)=m2-2mk+k2=(m-k)2=0,
∴m=k,即l∥AB.…(12分)
(Ⅰ)∵点A(1,2)在抛物线C上,∴a=1.
∴抛物线C的方程为y=2x2.…(4分)
(Ⅱ)如图,设A(x1,2x12),B(x2,2x22),
把y=kx+2代入y=2x2得:2x2-kx-2=0,
由韦达定理得:x1+x2=
k |
2 |
x1+x2 |
2 |
k |
4 |
即N点的坐标为(
k |
4 |
k2 |
8 |
设抛物线在点N处的切线l的方程为y-
k2 |
8 |
k |
4 |
将y=2x2代入上式得:2x2-mx+
mk |
4 |
k2 |
8 |
∵直线l与抛物线C相切,所以△=m2-8(
mk |
4 |
k2 |
8 |
∴m=k,即l∥AB.…(12分)
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