题目内容

已知抛物线C的顶点在原点,经过点A(1,2),其焦点F在y轴上,直线y=kx+2交抛物线C于A,B两点,M是线段AB的中点,过M作x轴的垂线交抛物线C于点N.
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)证明:抛物线C在点N处的切线与AB平行.
依题意,设抛物线C的方程为y=ax2
(Ⅰ)∵点A(1,2)在抛物线C上,∴a=1.
∴抛物线C的方程为y=2x2.…(4分)
(Ⅱ)如图,设A(x1,2x12),B(x2,2x22),
把y=kx+2代入y=2x2得:2x2-kx-2=0,
由韦达定理得:x1+x2=
k
2
,x1x2=-1,∴xN=xM=
x1+x2
2
=
k
4

即N点的坐标为(
k
4
k2
8
).…(8分)
设抛物线在点N处的切线l的方程为y-
k2
8
=m(x-
k
4
),
将y=2x2代入上式得:2x2-mx+
mk
4
-
k2
8
=0,
∵直线l与抛物线C相切,所以△=m2-8(
mk
4
-
k2
8
)=m2-2mk+k2=(m-k)2=0,
∴m=k,即lAB.…(12分)
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