Question

【题目】已知椭圆过点，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过的直线交椭圆于，两点，试问：是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在一个定点满足条件.

【解析】

（Ⅰ）根据题意，分析可得，可以将椭圆的方程设为，将点的坐标代入方程，计算可得的值，即可得答案；
（Ⅱ）根据题意，按直线的位置关系分2种情况讨论，当与轴垂直时，易得结论，当与轴不垂直时，设出直线的方程，与椭圆的方程联立，结合根与系数的关系，分析可得结论，综合2种情况即可得答案．

（Ⅰ）解：因为椭圆的两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，

所以.所以椭圆的方程为.

又椭圆经过点，代入椭圆方程得.

所以. 故所求椭圆方程为.

（Ⅱ）解：由已知动直线过点.

当与轴平行时，以为直径的圆的方程为；

当与轴重合时，以为直径的圆的方程为.

所以两圆相切于点，即两圆只有一个公共点.

因此，所求点如果存在，只能是点.

以下证明以为直径的圆恒过点：

当与轴垂直时，以为直径的圆过点；

当与轴不垂直时，设.

由 得.

由在椭圆内部知成立.

设，则.

又，，

所以

.

所以，即以为直径的圆恒过点.

所以存在一个定点满足条件.